20、利用普通最小二乘法求的樣本回歸直線具有以下特點:
(1)樣本回歸直線必然通過點X的均值和點Y的均值;
(2)預測值Y的平均值與實際值Y的平均值相等;
(3)殘差ei均值為零;
(4)殘差ei與解釋變量X不相關。
21、普通最小乘估計量的特性:
(1)無偏性:E(β0)= β0,E(β1)= β1由不同樣本得到的β0和β1可能大于或小于總體的β1和β0,但平均起來等于總體參數。
(2)線性特性:即估計量β0和β1均為樣本觀測值Y的線性組合。
(3)有效性:即β1和β0的方差最小。
22、簡單線性回歸模型的檢驗
(1)對估計值的直觀判斷:1.對回歸系數β1的符號判斷;2.對β1的大小判斷。
(2)擬合優度的檢驗:擬合優度是指樣本回歸直線與樣本觀測值之間的擬合程度,通常用判定系數r2表示。檢驗擬合優度的目的,是了解釋變量X對被解釋變量Y的解釋程度。X對Y的解釋能力越強,殘差ei的絕對值就越小,從而樣本觀測值離回歸直線的距離越近。判定系數計算公式:
ESS Σ(Y(預測值)—Y(均值)) β12(回歸系數)Σ(X(樣本值)—X(均值))
r2=———=——————————————=————————————————————
TSS Σ(Y(樣本值)—Y(均值)) Σ(Y(樣本值)—Y(均值))
判定系數r2的兩個重要性質:
1.它是一個非負的量。
2.它是在0與1之間變化的量。當r2=1時,所有的觀測值都落在樣本回歸直線上,是完全擬合;當r2=0時,解釋變量與被解釋變量之間沒有關系。
23、相關系數是衡量變量之間線性相關的指標。用r表示,它具有下列性質:
(1)它是可正可負的數
(2)它是在-1與+1之間變化的量。
(3)它具有對稱性,即X與Y之間的相關系數與Y與X值將的相關系數相同。
(4)如果X和Y在統計上獨立,則相關系數為零。當r=0,并不說明兩個變量之間一定獨立。這是因為,r僅適用于變量之間的線性關系,而變量之間可能存在非線性關系。
Σ(X(樣本值)—X(均值))(Y(樣本值)—Y(均值))
r=—————————————————————————————
[Σ(X(樣本值)—X(均值))2Σ(Y(樣本值)—Y(均值))2]1/2
r=±[r2]1/2并且r的符號與回歸系數β1的符號相同。
相關系數與判定系數在概念上仍有明顯區別:前者建立在相關分析的理論基礎上,研究的是兩個隨機變量之間的線性相關的關系,不僅反映變量之間的因果關系;后者建立在回歸分析的理論基礎上,研究的是一個普通變量(X)對另一個隨機變量的定量解釋程度。
24、相關系數的檢驗(t檢驗)
一般說來,相關系數可以反映X與Y之間的線性相關程度。r的絕對值越接近于1,X與Y之間的線性關系就越密切。但相關系數通常是根據樣本數據得到的,因而帶有一定的隨機性,且樣本越小其隨機型就越大。因此,我們有必要依據樣本相關系數r對總體相關系數ρ進行統計檢驗。可構造t統計量:
r(n—2)1/2
t=—————— 其中r為相關系數,n為樣本數,服從(n-2)的t分布;查t分布得
(1—r2) 1/2 相應的臨界值tα/2如果有:|t|≥tα/2則認為X與Y之間存在顯著的線性相關關系。反之若有|t|≤tα/2則認為X與Y之間不存在顯著的線性相關關系。
25、在一元線性回歸模型中Y=β0+β1X+μi,β1代表解釋變量X對被解釋變量Y的線性影響。如果X對Y的影響是顯著的,則有β1≠0;若X對Y的影響不顯著,則有β1=0。由于真實參數β1是未知的,我們只能依據樣本估計值對β1進行統計檢驗。
26、多重判定系數R2:為了說明二元回歸方程對樣本觀測值擬合的優劣,需要定義多重判定系數。多重判定系數與簡單判定系數r2一樣,R2也定義為有解釋的變差(ESS)與總變差(TSS)之比。顯然,R2也是一個在0與1 之間的數。R2的值越接近1,擬合優度就越高。R2=1時,RSS=0,表明被解釋變量Y的變化完全由解釋變量X1和X2決定;當R2=0,表明Y的變化與X1,X2無任何關系。同時對于兩個被解釋變量相同而解釋變量個數不同的模型,包含解釋變量多的模型就會有較高的R2值。
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