20、利用普通最小二乘法求的樣本回歸直線具有以下特點：

(1)樣本回歸直線必然通過點X的均值和點Y的均值;

(2)預測值Y的平均值與實際值Y的平均值相等;

(3)殘差ei均值為零;

(4)殘差ei與解釋變量X不相關。

21、普通最小乘估計量的特性：

(1)無偏性：E(β0)= β0，E(β1)= β1由不同樣本得到的β0和β1可能大于或小于總體的β1和β0，但平均起來等于總體參數。

(2)線性特性：即估計量β0和β1均為樣本觀測值Y的線性組合。

(3)有效性：即β1和β0的方差最小。

22、簡單線性回歸模型的檢驗

(1)對估計值的直觀判斷：1.對回歸系數β1的符號判斷;2.對β1的大小判斷。

(2)擬合優度的檢驗：擬合優度是指樣本回歸直線與樣本觀測值之間的擬合程度，通常用判定系數r2表示。檢驗擬合優度的目的，是了解釋變量X對被解釋變量Y的解釋程度。X對Y的解釋能力越強，殘差ei的絕對值就越小，從而樣本觀測值離回歸直線的距離越近。判定系數計算公式：

ESS Σ(Y(預測值)—Y(均值)) β12(回歸系數)Σ(X(樣本值)—X(均值))

r2=———=——————————————=————————————————————

TSS Σ(Y(樣本值)—Y(均值)) Σ(Y(樣本值)—Y(均值))

判定系數r2的兩個重要性質：

1.它是一個非負的量。

2.它是在0與1之間變化的量。當r2=1時，所有的觀測值都落在樣本回歸直線上，是完全擬合;當r2=0時，解釋變量與被解釋變量之間沒有關系。

23、相關系數是衡量變量之間線性相關的指標。用r表示，它具有下列性質：

(1)它是可正可負的數

(2)它是在-1與+1之間變化的量。

(3)它具有對稱性，即X與Y之間的相關系數與Y與X值將的相關系數相同。

(4)如果X和Y在統計上獨立，則相關系數為零。當r=0，并不說明兩個變量之間一定獨立。這是因為，r僅適用于變量之間的線性關系，而變量之間可能存在非線性關系。

Σ(X(樣本值)—X(均值))(Y(樣本值)—Y(均值))

r=—————————————————————————————

[Σ(X(樣本值)—X(均值))2Σ(Y(樣本值)—Y(均值))2]1/2

r=±[r2]1/2并且r的符號與回歸系數β1的符號相同。

相關系數與判定系數在概念上仍有明顯區別：前者建立在相關分析的理論基礎上，研究的是兩個隨機變量之間的線性相關的關系，不僅反映變量之間的因果關系;后者建立在回歸分析的理論基礎上，研究的是一個普通變量(X)對另一個隨機變量的定量解釋程度。

24、相關系數的檢驗(t檢驗)

一般說來，相關系數可以反映X與Y之間的線性相關程度。r的絕對值越接近于1，X與Y之間的線性關系就越密切。但相關系數通常是根據樣本數據得到的，因而帶有一定的隨機性，且樣本越小其隨機型就越大。因此，我們有必要依據樣本相關系數r對總體相關系數ρ進行統計檢驗。可構造t統計量：

r(n—2)1/2

t=—————— 其中r為相關系數，n為樣本數，服從(n-2)的t分布;查t分布得

(1—r2) 1/2 相應的臨界值tα/2如果有：|t|≥tα/2則認為X與Y之間存在顯著的線性相關關系。反之若有|t|≤tα/2則認為X與Y之間不存在顯著的線性相關關系。

25、在一元線性回歸模型中Y=β0+β1X+μi，β1代表解釋變量X對被解釋變量Y的線性影響。如果X對Y的影響是顯著的，則有β1≠0;若X對Y的影響不顯著，則有β1=0。由于真實參數β1是未知的，我們只能依據樣本估計值對β1進行統計檢驗。

26、多重判定系數R2：為了說明二元回歸方程對樣本觀測值擬合的優劣，需要定義多重判定系數。多重判定系數與簡單判定系數r2一樣，R2也定義為有解釋的變差(ESS)與總變差(TSS)之比。顯然，R2也是一個在0與1 之間的數。R2的值越接近1，擬合優度就越高。R2=1時，RSS=0，表明被解釋變量Y的變化完全由解釋變量X1和X2決定;當R2=0，表明Y的變化與X1，X2無任何關系。同時對于兩個被解釋變量相同而解釋變量個數不同的模型，包含解釋變量多的模型就會有較高的R2值。