3.笛卡爾積

　　設關系R和S的元數分別為r和s.定義R和S的笛卡爾積是一個(r+s)元的元組集合，每個元組的前r個分量(屬性值)來自R的一個元組，后s個分量來自S的一個元組，記為R×S.

　　若R有M個元組，S有n個元組，則R×S有m×n個元組。

　　4.選擇

　　從關系中找出滿足給定條件的所有元組稱為選擇。其中的條件是以邏輯表達式給出的，該邏輯表達式的值為真的元組被選取。這是從行的角度進行的運算，即水平方向抽取元組。經過選擇運算得到的結果可以形成新的關系，其關系模式不變，但其中元組的數目小于或等于原來的關系中的元組的個數，它是原關系的一個子集。

　　記為：δF(R)≡{t∣t屬于R∧F(t)=true}

　　5.投影

　　從關系中挑選若干屬性組成的新的關系稱為投影。這是從列的角度進行運算。經過投影運算可以得到一個新關系，其關系所包含的屬性個數往往比原關系少，或者屬性的排列順序不同。如果新關系中包含重復元組，則要刪除重復元組。

　　記為：∏A(R)={t[A]∣t屬于R}?A為R中的屬性列。

　　例如：∏3，1(R)

　　關系代數的四個組合操作

　　1.交

　　關系R和S的交是由屬于R又屬于S的元組構成的集合，記為R∩S.R和S要求定義在相同的關系模式上。

　　R∩S≡{t∣t屬于R∧t屬于S}，R和S的元數相同。

　　2.聯接

　　聯接有兩種：θ聯接和F聯接(θ是算術比較符，F是公式)。

　　⑴θ聯接

　　θ聯接是從關系R和S的笛卡爾積中選取屬性值滿足某一θ操作的元組，記為：

　　R︱×iθj︱S，這里i和j分別是關系R和S中第i個、第j個屬性的序號。

　　R︱×iθj︱S≡δiθ(r+j)(R×S)

　　如果θ是等號“=”，該聯接操作稱為“等值聯接”。

　　⑵F聯接

　　F聯接操作是從關系R和S的笛卡爾積中選取屬性值滿足某一公式F的元組，記為：

　　R︱×F︱S，這里的F是形為F1∧F2∧…∧Fn的公式，每一個f都是形為iθj的式子，而i和j分別是關系R和S中第i個、第j個屬性的序號。

　　3.自然聯接

　　兩個關系R和S的自然聯接用R︱×︱S表示。具體計算過程如下：

　　①計算R×S

　　②設R和S的公共屬性是A1，……，Ak，挑選R×S中滿足R .A1=S.A1，……，R.Ak=S.Ak的那些元組

　　③去掉S.A1，……，S.Ak的這些列。

　　如果兩個關系中沒有公共屬性，那么其自然聯接就轉化為笛卡爾積操作。

　　4.除法

　　給定關系R(X，Y)和S(Y，Z)，其中X，Y，Z為屬性組。R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。R與S的除運算得到一個新的關系P(X)，P是R中滿足下列條件的元組在X屬性上的投影：元組在X上分量值x的象集YX包含S在Y上投影的集合。

　　關系代數表達式及其應用實例

　　在關系代數運算中，把由五個基本操作經過有限次復合的式子稱為關系代數表達式。這種表達式的結果仍然是一個關系。可以使用關系代數表達式表示各種數據查詢操作。

　　例題：設教學庫中有三個關系：

　　學生關系S(S#，SNAME，AGE，SEX)?

　　學習關系SC(S#，C#，GRADE)

　　課程關系C(C#，CNAME，TEACHER)

　　下面用關系代數表達式表達各個查詢語句

　　1.檢索學習課程號為C2的學生學號與成績。

　　2.檢索學習課程號為C2的學生學號與姓名。

　　3.檢索選修課程名為MATHS的學生學號與姓名。

　　4.檢索選修課程號為C2或C4的學生學號。

　　5.檢索至少選修課程號為C2或C4的學生學號。

　　6.檢索不學C2課的學生姓名有年齡。

　　7.檢索學習全部課程的學生姓名。