3.笛卡爾積

　　設(shè)關(guān)系R和S的元數(shù)分別為r和s.定義R和S的笛卡爾積是一個(r+s)元的元組集合，每個元組的前r個分量(屬性值)來自R的一個元組，后s個分量來自S的一個元組，記為R×S.

　　若R有M個元組，S有n個元組，則R×S有m×n個元組。

　　4.選擇

　　從關(guān)系中找出滿足給定條件的所有元組稱為選擇。其中的條件是以邏輯表達(dá)式給出的，該邏輯表達(dá)式的值為真的元組被選取。這是從行的角度進(jìn)行的運算，即水平方向抽取元組。經(jīng)過選擇運算得到的結(jié)果可以形成新的關(guān)系，其關(guān)系模式不變，但其中元組的數(shù)目小于或等于原來的關(guān)系中的元組的個數(shù)，它是原關(guān)系的一個子集。

　　記為：δF(R)≡{t∣t屬于R∧F(t)=true}

　　5.投影

　　從關(guān)系中挑選若干屬性組成的新的關(guān)系稱為投影。這是從列的角度進(jìn)行運算。經(jīng)過投影運算可以得到一個新關(guān)系，其關(guān)系所包含的屬性個數(shù)往往比原關(guān)系少，或者屬性的排列順序不同。如果新關(guān)系中包含重復(fù)元組，則要刪除重復(fù)元組。

　　記為：∏A(R)={t[A]∣t屬于R}?A為R中的屬性列。

　　例如：∏3，1(R)

　　關(guān)系代數(shù)的四個組合操作

　　1.交

　　關(guān)系R和S的交是由屬于R又屬于S的元組構(gòu)成的集合，記為R∩S.R和S要求定義在相同的關(guān)系模式上。

　　R∩S≡{t∣t屬于R∧t屬于S}，R和S的元數(shù)相同。

　　2.聯(lián)接

　　聯(lián)接有兩種：θ聯(lián)接和F聯(lián)接(θ是算術(shù)比較符，F(xiàn)是公式)。

　　⑴θ聯(lián)接

　　θ聯(lián)接是從關(guān)系R和S的笛卡爾積中選取屬性值滿足某一θ操作的元組，記為：

　　R︱×iθj︱S，這里i和j分別是關(guān)系R和S中第i個、第j個屬性的序號。

　　R︱×iθj︱S≡δiθ(r+j)(R×S)

　　如果θ是等號“=”，該聯(lián)接操作稱為“等值聯(lián)接”。

　　⑵F聯(lián)接

　　F聯(lián)接操作是從關(guān)系R和S的笛卡爾積中選取屬性值滿足某一公式F的元組，記為：

　　R︱×F︱S，這里的F是形為F1∧F2∧…∧Fn的公式，每一個f都是形為iθj的式子，而i和j分別是關(guān)系R和S中第i個、第j個屬性的序號。

　　3.自然聯(lián)接

　　兩個關(guān)系R和S的自然聯(lián)接用R︱×︱S表示。具體計算過程如下：

　　①計算R×S

　　②設(shè)R和S的公共屬性是A1，……，Ak，挑選R×S中滿足R .A1=S.A1，……，R.Ak=S.Ak的那些元組

　　③去掉S.A1，……，S.Ak的這些列。

　　如果兩個關(guān)系中沒有公共屬性，那么其自然聯(lián)接就轉(zhuǎn)化為笛卡爾積操作。

　　4.除法

　　給定關(guān)系R(X，Y)和S(Y，Z)，其中X，Y，Z為屬性組。R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。R與S的除運算得到一個新的關(guān)系P(X)，P是R中滿足下列條件的元組在X屬性上的投影：元組在X上分量值x的象集YX包含S在Y上投影的集合。

　　關(guān)系代數(shù)表達(dá)式及其應(yīng)用實例

　　在關(guān)系代數(shù)運算中，把由五個基本操作經(jīng)過有限次復(fù)合的式子稱為關(guān)系代數(shù)表達(dá)式。這種表達(dá)式的結(jié)果仍然是一個關(guān)系。可以使用關(guān)系代數(shù)表達(dá)式表示各種數(shù)據(jù)查詢操作。

　　例題：設(shè)教學(xué)庫中有三個關(guān)系：

　　學(xué)生關(guān)系S(S#，SNAME，AGE，SEX)?

　　學(xué)習(xí)關(guān)系SC(S#，C#，GRADE)

　　課程關(guān)系C(C#，CNAME，TEACHER)

　　下面用關(guān)系代數(shù)表達(dá)式表達(dá)各個查詢語句

　　1.檢索學(xué)習(xí)課程號為C2的學(xué)生學(xué)號與成績。

　　2.檢索學(xué)習(xí)課程號為C2的學(xué)生學(xué)號與姓名。

　　3.檢索選修課程名為MATHS的學(xué)生學(xué)號與姓名。

　　4.檢索選修課程號為C2或C4的學(xué)生學(xué)號。

　　5.檢索至少選修課程號為C2或C4的學(xué)生學(xué)號。

　　6.檢索不學(xué)C2課的學(xué)生姓名有年齡。

　　7.檢索學(xué)習(xí)全部課程的學(xué)生姓名。